Định luật Faraday: Lực điện do từ trường B biến đổi

Khi từ trường biến đổi, như đưa nam châm đi qua cuộn dây dẫn điện, sẽ sinh ra điện trường (và do đó xuất hiện dòng điện trong cuộn dây). Hiện tượng này do Faraday tìm ra và là cơ sở hoạt động cho các máy phát điện và động cơ điện.

Phát biểu toán học của định luật cảm ứng Faraday là:

E = − d Φ m d t , {\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{\mathrm {m} }}{dt}},}

với E {\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {E}}} là lực điện động (hay EMF, hiệu điện thế trong vòng kín) và Φm là từ thông— tích của diện tích với vectơ pháp tuyến từ trường tại diện tích đó. (từ định nghĩa của từ thông do vậy mà tại sao B cũng được coi là mật độ từ thông.)

Dấu âm thể hiện dòng điện sinh ra trong cuộn dây bởi từ trường biến đổi mà dòng điện sẽ sinh ra một từ trường khác chống lại sự biến đổi của từ trường mà nó cảm ứng. Điều này được thể hiện trong định luật Lenz.

Dạng tích phân của định luật Faraday có thể biến đổi thành[nb 14] dạng vi phân mà cho phép áp dụng ở những điều kiện khác. Dạng này là một trong các phương trình Maxwell ở dưới.

Hiệu chỉnh của Maxwell cho định luật Ampère: Từ trường do điện trường biến đổi

Tương tự như từ trường biến đổi sinh ra điện trường, điện trường biến đổi cũng sinh ra từ trường. Để miêu tả bằng toán học định luật này, Maxwell đã bổ sung vào định luật Ampère một số hạng và cũng với định luật Faraday mà Maxwell có thể suy đoán được sự tồn tại của sóng điện từ, bao gồm ánh sáng. Do vậy, thay đổi điện trường làm từ trường biến đổi, và đến lượt từ trường biến đổi sinh ra điện trường biến đổi.

Số hạng mà Maxwell bổ sung vào định luật Ampère tỷ lệ với sự thay đổi của thông lượng điện trường theo thời gian tương tự như định luật cảm ứng của Faraday nhưng với hằng dương số khác. (Thông lượng điện đi qua một diện tích tỷ lệ với tích của diện tích với thành phần vuông góc của điện trường.)

Phương trình định luật Ampère bao gồm hệ số bổ sung gọi là phương trình Maxwell–Ampère. Phương trình này ít khi biểu diễn dưới dạng tích phân do hiệu ứng của hệ số bổ sung khá nhỏ do vậy thường được bỏ qua khi người ta sử dụng dạng tích phân của phương trình. Số hạng bổ sung của Maxwell là rất quan trọng trong sự hình thành và lan truyền của sóng điện từ, mặc dù vậy phương trình này thường được miêu tả dưới dạng vi phân.

Phương trình Maxwell

Giống như mọi trường vector, từ trường có hai đặc điểm toán học quan trọng liên hệ với nguồn của nó. (Với B, nguồn là dòng điện và sự biến đổi của điện trường.) Hai đặc điểm toán học này, cùng với hai đặc điểm toán học của điện trường tạo thành Các phương trình Maxwell. Các phương trình Maxwell cùng với lực Lorentz cho mô tả hoàn thiện về điện động lực học cổ điển bao gồm cả điện và từ.

Đặc điểm đầu tiên là phân kỳ của trường vectơ A, ∇ • A, thể hiện A 'chảy' ra ngoài như thế nào từ một điểm. Như miêu tả ở trên, các đường sức của trường B không bao giờ bắt đầu hay kết thúc tại một điểm, thay vào đó chúng tạo thành những vòng kín. Điều này tương đương với phát biểu toán học rằng phân kỳ của B bằng 0. (Những trường vectơ có tính chất này gọi là trường vectơ solenoid.) Phương trình này chính là định luật Gauss cho từ học và nó tương đương với phát biểu không có cực từ hay đơn cực từ. Mặt khác, đường sức điện trường bắt đầu và kết thúc tại các điện tích do vậy phân kỳ của điện trường khác 0 và tỉ lệ với mật độ điện tích (Xem định luật Gauss).

Đặc điểm toán học thứ hai là độ xoáy (rot), ký hiệu ∇ × A thể hiện độ xoáy của A xung quanh một điểm cho trước. Kết quả của độ xoáy gọi là 'nguồn quay tròn'. Các phương trình cho rot của B và E tương ứng là các phương trình Ampère–Maxwell và phương trình định luật cảm ứng Faraday. Chúng được biểu diễn ở dạng vi phân và tích phân ở trên.

Các phương trình Maxwell là:

∇ ⋅ B = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,} ∇ ⋅ E = ρ ε 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},} ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t , {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},} ∇ × E = − ∂ B ∂ t , {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}

với J = mật độ dòng vi mô đầy đủ và ρ là mật độ điện tích.

Từ trường, giống với các giả vector, thay đổi dấu khi phản chiếu qua gương: Khi vòng dây (đen) mang dòng điện được phản chiếu qua gương (đường chấm), từ trường của nó (xanh) cũng được phản chiếu nhưng đảo ngược hướng.

Theo định nghĩa toán học, vectơ B là giả vectơ (hay vectơ trục) do nó được định nghĩa theo tích vectơ. (xem biểu đồ.)

Như thảo luận ở trên, vật liệu từ hưởng ứng khi có điện trường ngoài E và từ trường ngoài B bằng cách tự sinh ra dòng cảm ứng và dòng từ hóa đóng góp vào chính E và B và rất khó để tính toán. Để vượt qua vấn đề này, hai khái niệm trường H và D đưa ra để sử dụng trong phương trình Maxwell khi mô tả mật độ dòng tự do Jf và mật độ điện tích tự do ρf:

∇ ⋅ B = 0 , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,} ∇ ⋅ D = ρ f , {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\mathrm {f} },} ∇ × H = J f + ∂ D ∂ t , {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\mathrm {f} }+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}},} ∇ × E = − ∂ B ∂ t . {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}

Những phương trình này không tổng quát hơn (nếu biết dòng từ hóa và điện tích 'liên kết' trong vật liệu). Chúng cần thiết để bổ sung cho mối liên hệ giữa B và H cũng như giữa E và D. Mặt khác, những mối liên hệ đơn giản giữa những đại lượng này trong phương trình Maxwell cũng có vai trò để tính dòng từ hóa và điện tích liên kết.

Điện trường và từ trường: hai khía cạnh của cùng một trường

Theo thuyết tương đối hẹp, việc phân chia lực điện từ thành các thành phần tách biệt là lực điện và lực từ không phải là những khái niệm cơ bản, nhưng chúng thay đổi khi lựa chọn hệ quy chiếu quan sát: Một quan sát viên coi kết quả là lực điện nhưng quan sát viên khác có thể thu được kết quả là lực từ (mỗi người trong hệ quy chiếu khác nhau), hay thậm chí là lực điện từ.

Bằng toán học, thuyết tương đối đặc biệt kết hợp điện trường và từ trường thành tenxơ hạng hai, gọi là tenxơ điện từ. Thay đổi hệ quy chiếu làm trộn các thành phần này. Nó cũng tương tự như cách thuyết tương đối hẹp trộn không gian và thời gian thành không thời gian, và khối lượng, động lượng, năng lượng thành bốn-động lượng.[29]

Vectơ từ thế

Trong cơ học lượng tử và thuyết tương đối các nhà vật lý thường sử dụng dạng thế điện từ hơn là thuật ngữ từ trường và điện trường. Theo cách này, vectơ thế (vector potential-hay vectơ thế năng, thế vectơ) A, và thế vô hướng φ (điện thế), được định nghĩa:

B = ∇ × A , {\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} ,} E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t . {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}.}

Vectơ thế A được giải thích là thế động lượng tổng quát trên đơn vị điện tích[30] giống như φ được giải thích là thế năng lượng tổng quát trên đơn vị điện tích.

Phương trình Maxwell biểu diễn bằng các vectơ thế sẽ có dạng tuân theo thuyết tương đối hẹp mà không phải điều chỉnh.[31] Trong thuyết tương đối, thế vectơ A cùng với thế vô hướng φ tạo thành bốn-thế, tương tự như bốn-động lượng kết hợp động lượng và năng lượng của hạt. Sử dụng bốn thế thay cho tenxơ điện từ có thuận lợi là nó cho phép đơn giản và dễ sửa đổi trong miêu tả của cơ học lượng tử.

Điện động lực học lượng tử

Trong vật lý hiện đại, trường điện từ được hiểu không phải là trường cổ điển, mà là trường lượng tử; đại lượng miêu tả nó trong nghĩa cổ điển là vectơ thực ba thành phần tại mỗi điểm, được thay thế bằng vectơ của ba toán tử lượng tử tại mỗi điển. Lý thuyết mô tả chính xác nhất tương tác điện từ (và những hiện tượng khác) là Điện động lực học lượng tử (QED),[32] và sau đó lý thuyết được kết hợp vào một lý thuyết hoàn thiện hơn là Mô hình chuẩn của vật lý hạt.

Trong QED, độ lớn của tương tác điện từ giữa các hạt điện tích (cũng như các phản hạt) được tính toán sử dụng phương nhiễu loạn; những công thức phức tạp này được thể hiện một cách hình ảnh thông qua biểu đồ Feynman trong đó quá trình tương tác giữa các hạt thông qua sự trao đổi của những photon ảo.

Các tiên đoán của QED phù hợp với thực nghiệm ở độ chính xác rất cao: hiện tại là cỡ 10−12 (và bị giới hạn bởi sai số thực nghiệm). Điện động lực học lượng tử là một trong những lý thuyết vật lý chính xác nhất hiện nay.

Mọi phương trình trong bài viết này là các phương trình cổ điển và ít chính xác hơn khi đề cập đến tính chất lượng tử. Tuy vật, trong phần lớn ứng dụng thường ngày, các phương trình điện từ học cổ điển vẫn cho độ chính xác phù hợp.